Quanta 杂志的 James Round
在大多数两人游戏中，通常最好是先赢再输。如果你和某人分享一个比萨，并且想吃更大的份，通常最好先拿第一片，然后挑一个很大的。但在某些情况下，最好选择第二名。在国际象棋中，这些情况有一个听起来很戏剧化的名字：zugzwang！我们今天的谜题在四种不同的背景下探索了这种上下现象。
让我们从国际象棋开始，无论你走第一还是第二都有可能获胜。在最近的世界象棋锦标赛上，挪威卫冕冠军马格努斯·卡尔森以7.5比3.5的比分击败了俄罗斯大师伊恩·内波姆尼亚奇。在参加的 11 场比赛中，卡尔森赢了 4 场，两次是白队，两次是黑队。其他七场比赛被平局。
但是，尽管有可能在国际象棋中以黑棋获胜，但众所周知，用白棋先走是有利的——这有点像网球中的先发球。据统计，根据大量的棋局，棋手领先的几率约为54%-46%。在大多数国际象棋位置中，您可以通过移动来改善您的位置。但有时不得不移动的玩家只会恶化他们的位置并最终会输。这是 zugzwang 的一个例子——一个德语单词，字面意思是“强制移动”。这是一个简单的例子：
上面的位置是对称的，看起来相等。但仔细观察，你会发现无论谁下一个，都必须将他们的国王从它所保护的棋子上移开。这允许对方捕获棋子并最终成为自己的棋子并赢得比赛。
大多数 zugzwang 职位都不是这样的互惠的。通常只有一侧陷入这种束缚。
由于“zugzwang”一词来自国际象棋，让我们从国际象棋谜题开始。以下是半个世纪前的世界锦标赛候选人比赛中的一个位置，该位置由另一位传奇冠军美国人鲍比·菲舍尔赢得。
谜题 1：国际象棋
问题：在所示位置，轮到黑方下。不幸的是，黑棋在zugzwang，最终会输。你能解释一下怎么做吗？
当大多数棋子都在棋盘上时，有一个 zugzwang 情况很好，但是初始位置呢？也许白棋一开始就已经在zugzwang，黑棋的完美下法，或者也许有一个白棋总是让黑在zugzwang。或者可能是完美的比赛总是会导致平局。国际象棋是一种组合过于复杂的游戏，即使在最先进的超级计算机的帮助下，也无法弄清楚这一点。然而，也有一些简单的游戏，其中一方从 zugzwang 开始。
谜题 2：尼姆
考虑古老的游戏Nim 。一般形式包括两名玩家从几堆中的任何一堆中取出一串石头，直到所有的石头都被移除。在它的许多变体中，Nim 在组合博弈论中产生了几个数学结果，包括Sprague-Grundy定理。
在被称为减法游戏的 Nim 的更简单形式中，只有一个数字可以减去，而不是多堆石头。有两个玩家，A 和 B。A 先走，但 B 可以选择开始减去的数字。假设 B 从 101 开始。然后玩家轮流从最后一个玩家轮到后剩余的数字中减去 1、2 或 3。当值达到零时游戏结束。被迫做最后一个减法的玩家输了。
对于我们的第三个谜题，我们从 Nim 转向Sim ，这是一款基于丰富的组合学领域的游戏，称为Ramsey 理论。 Sim 是两个玩家之间的游戏——我们称他们为 Red 和 Blue。游戏在如图所示的图中进行，该图由六个点组成，每个点通过黑线（在图论中称为边）相互连接。每个玩家轮流选择一条边，并根据他们的名字将其涂成红色或蓝色。如果玩家的移动导致任意三个点被相同颜色的边缘连接，则玩家输。有六个点，行数是“6选2”= ，或 15，所以游戏最多持续 15 步。您可以在这里玩 Sim 的在线版本。
从拉姆齐理论我们知道，如果你用两种颜色给六个点之间的边上色，总会有一定数量的三角形以相同颜色的边为界。所以模拟人生的游戏总会有赢家。事实上，已经证明，无论第一个玩家做什么，第二个玩家总是可以使用获胜策略。换句话说，第一个玩家在游戏一开始就在zugzwang。
问题：你能描述一下导致互惠 zugzwang 位置（下一个玩家输掉）的最短可能的 Sim 游戏吗？按顺序列出游戏中的动作。
尽管总是有第二个玩家的获胜策略，但如果没有计算机的帮助，它显然太复杂了，无法找到或记住。因此，对于雄心勃勃的休闲数学家来说，为第二名玩家寻找实用的获胜策略的探索仍然是开放的。
谜题 4：披萨
最后，这是我最喜欢的 zugzwang 例子，也是我们今天最难的谜题。目标是使用 zugzwang 获得更大份额的比萨饼。
让你的朋友挑第一片，你能得到更多的比萨吗？信不信由你，答案是肯定的，只要你以特定的方式切披萨！
你的朋友先走，你可以切披萨。你像往常一样把披萨切成楔形放射状切片。您可以制作任意数量的切片，并且它们不需要都具有相同的大小。你的朋友先去挑选她想要的任何一片。之后，你们每个人轮流吃一片，但你和你的朋友必须选择与披萨开口部分相邻的两片中的一片。你们俩都尽最大努力尽可能多地吃披萨。
问题：
一种。你如何切披萨，这样在切完所有片后，你的披萨比你朋友的多？给出可能发生这种情况的最小可能切片数，以及每个切片的相对大小。
湾。您可以获得的比萨饼的最大比例是多少？
C。您能否指定所有可能无法实现此结果的切片数量？
让我给你一些提示来帮助你开始。当只剩下三个切片时，考虑游戏结束。想象它们的相对大小是 1、3 和 1。先走的人在 zugzwang，必须从两个大小为 1 的切片中选择一个。这会暴露出您抓取的大小为 3 的切片。你的朋友得到最后一片，因此最终得到这部分的，而你得到
.你可以通过扩展这个模式来制作一个长的 zugzwang 梯子。对于模式为 1、3、1、3 和 1 的五个切片，您的朋友最终在 zugzwang 两次，您得到一份 6 号的比萨饼，而尽管她先吃，但她得到的只是 3 号的一份。
因此，如果切片都排成一排，那就很容易了。但是，当然，比萨饼最初是圆的和完整的，你的朋友可以选择第一片来最大化她的吃，就在你的 zugzwang 梯子的中间。那么如何让它发挥作用呢？这就是你今天的任务。
令人费解的快乐，如果事情变得艰难，你总是可以点披萨来寻找灵感。只要记住先走……直到你设法解决这个难题。
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