数学的“有史以来最古老的问题”得到了新的答案

数论者总是在寻找隐藏的结构。当面对一种似乎不可避免的数字模式时，他们会考验它的勇气，努力——但往往失败——设计出不能出现给定模式的情况。

牛津大学的托马斯·布鲁姆（ Thomas Bloom ）证明了这种模式的弹性的最新结果之一，回答了一个可以追溯到古埃及的问题。

“这可能是有史以来最古老的问题，”达特茅斯学院的Carl Pomerance说。

该问题涉及分子中以 1 为特征的分数，例如 , 要么 .这些“单位分数”对古埃及人来说尤其重要，因为它们是他们的数字系统所包含的唯一分数类型：除了一个符号 ，他们只能表达更复杂的分数（比如 ) 作为单位分数的总和 ( + ）。

在 1970 年代，现代人对这些和的兴趣得到了提升，当时 Paul Erdős 和 Ronald Graham 询问设计不包含倒数加为 1 的子集的整数集可能有多么困难。例如，集合 {2, 3, 6, 9, 13} 未通过此测试：它包含子集 {2, 3, 6}，其倒数是单位分数 , 和 — 总和为 1。

被称为 Rhind Papyrus 的数学卷轴可以追溯到公元前 1650 年左右，它展示了古埃及人如何将有理数表示为单位分数的总和。

在将数字分类到桶中时，Croot 想要避开具有大素因数的合数。这些数字的倒数往往会加到具有大分母的分数上，而不是简化为更容易组合成 1 的更简单的分数。因此，Croot 证明了如果一个集合有足够多的数字和许多相对较小的素因数，它必须总是包含一个子集，其倒数加到 1。

Croot 证明至少有一个桶总是满足该性质，这足以证明着色结果。但在更一般的密度版本中，数学家不能简单地选择最方便的桶。他们可能不得不在不包含小素因数的数字的桶中寻找解决方案——在这种情况下，Croot 的方法不起作用。

“这是我无法完全解决的问题，”Croot 说。

但二十年后，当布鲁姆准备向他的阅读小组展示克罗特的论文时，他意识到他可以从克罗特介绍的技术中获得更多。

“我想，等等，Croot 的方法实际上比最初看起来更强大，”Bloom 说。 “所以我玩了几个星期，这个更强的结果就出来了。”

Croot 的证明依赖于一种称为指数和的积分。它是一个表达式，可以检测一个问题有多少整数解——在这种情况下，有多少子集包含等于 1 的单位分数之和。但有一个问题：几乎总是不可能精确地求解这些指数和。甚至估计它们也会变得异常困难。

Croot 的估计使他能够证明他正在使用的积分是正的，这一属性意味着在他的初始集合中至少存在一个解。

“他以近似的方式解决了这个问题，这已经足够了，”奥地利格拉茨科技大学的Christian Elsholtz说。

Bloom 调整了 Croot 的策略，使其适用于具有大素因数的数字。但这样做需要克服一系列障碍，这使得证明指数和大于零变得更加困难（因此，Erdős-Graham 猜想是正确的）。

Croot 和 Bloom 都将积分分解为多个部分，并证明了一个主要项是大而正的，而所有其他项（有时可能是负数）都太小而无法产生有意义的差异。

牛津大学的 Thomas Bloom 研究算术组合中的问题，包括关于某些数字模式可能有多普遍的问题。

但是，尽管 Croot 忽略了具有大素因数的整数来证明这些项足够小，但 Bloom 的方法使他能够更好地控制指数和的这些部分——因此，在处理可能会带来麻烦的数字时，有更大的回旋余地.这样的麻烦制造者仍然可以证明给定的术语很小，但布鲁姆证明了发生这种情况的地方相对较少。

“我们总是在估计指数和，”不列颠哥伦比亚大学的格雷格·马丁说。 “但是当指数本身有这么多项时，你需要非常乐观地相信你会找到一种方法来估计 [它] 并表明 [它] 大而积极。”

Bloom 没有使用这种方法来寻找倒数和为 1 的数字集，而是使用它来寻找倒数相加为更小的组成部分的集合。然后，他将这些作为构建块来达到预期的结果。

“老实说，你没有找到 1，”布鲁姆说。 “你发现也许 ，但如果你以三种不同的方式重复此操作 3 次，那么只需将它们彼此相加，你就会得到 1。”

这让他对这个数字模式的稳健性有了一个更强有力的陈述：只要一个集合包含一些微小但足够大的数字线片段——不管那个片段是什么样子——就不可能避免找到这些整齐的总和单位分数。

“这是一个了不起的结果，”不列颠哥伦比亚大学的Izabella Łaba说。 “在过去的 20 年里，组合数论和解析数论发生了很大的变化。这使得以新的视角和更有效的做事方式回到老问题成为可能。”

同时，它也给数学家留下了一个新的问题要解决，这一次是关于不可能找到等于 1 的单位分数之和的集合。素数就是一个例子——没有互数和的素数子集到 1——但这个性质也适用于其他“更大”的无限集，因为它们的倒数之和比素数的倒数更快地接近无穷大。在隐藏结构重新出现并且它们的一些倒数不可避免地加到 1 之前，这些总和能以多快的速度增长？

“Erdős-Graham 猜想是一个非常自然的问题，但它不是完整的答案，”Petridis 说。