如何用天平衡量真相

娱乐性数学中的天平谜题比比皆是。最基本的元素是不起眼的两盘天平——几千年来，在发展中国家繁华的农村集市中仍然可以找到一种商业主食。最简单的版本由一根金属梁组成，从该金属梁上悬挂两个平底锅，距离中央支撑或支点等距离。

双盘天平是科学和艺术中标志性的浪漫物品。在科学上，从第一个“尤里卡”时刻——阿基米德胜利地发现（即使他实际上并没有喊出“尤里卡” ）他的重量和质量原理，它一直是人类原始重量概念的基础，导致化学中使用的精确分析天平，最终用于道尔顿的原子理论。在艺术和人文学科中，庄严平衡的两盘秤象征着平衡、平等，进而是正义的象征。

在娱乐数学中，天平是无穷无尽的谜题来源，其中物体（通常是硬币）相互平衡，以便在其中找到假币。假币比真币重或轻。这些谜题是出色的数学训练工具——它们需要精确而精细的逻辑，需要仔细考虑所有可能发生的事情。此外，他们教授泛化的基础知识，自然而然地导致追求公式来描述您可以成功搜索的硬币数量如何随着您被允许称量硬币的次数而变化。最后，您可以通过将各种条件添加到组合中来创建这些谜题的无数变体。

以下是我最喜欢的一些此类问题，从两个经典开始，然后是三个增加了复杂性的变体。在每种情况下，您总是可以寻找一个通用公式，即使没有明确要求它。

请注意，在所有这些谜题中，我们不提供真实硬币的标准重量。你必须把硬币相互称重。此外，假设天平足够灵敏，可以检测标准硬币中的单个轻硬币或重硬币。

谜题 1

你有八枚外观相同的硬币。一种是假冒的，比其他重量轻，重量相同。在两次称重中找到坏硬币。找出在x重中可以找到假币的最大硬币数量的通用公式。

谜题 2

你有 12 个外观相同的硬币。一个比其他重量相同的重或轻。

1. 在三个称重中找到坏硬币。
2. 您可以在四分之一的称量中找到坏的硬币的最大数量是多少？描述如何找到假硬币。

谜题 3

这是谜题 1 的变体。你再次有八枚外观相同的硬币，其中一枚比其他枚更轻。但是，现在您拥有三个刻度。其中两个尺度有效，但第三个被破坏并给出随机结果（有时是正确的，有时是错误的）。你不知道哪个秤坏了。需要多少重量才能找到轻硬币？

谜题 4

你有 16 枚硬币，其中 8 枚很重且重量相同。其他八个很轻，重量相同。你不知道哪些硬币是重的还是轻的。除了带有特殊标记的硬币外，这些硬币看起来都一样。一个好的秤，你能分辨出这枚特殊硬币的三重是轻还是重？您可以从多少硬币开始并在四次称重中成功解决这个问题？

尽管回答这些问题很有趣，但在我看来，天平谜题中的条件总是随意的。你怎么知道只有一枚劣币呢？这个想法让我想到了我们的最后一个谜题。

谜题 5

你有n枚外观相同的硬币，其中一些是伪造的，而且比其他的更轻。你所知道的是，至少有一枚假币，而且普通硬币比假币多。你的工作是检测所有的假币。

构建整数序列，跟踪您可以成功搜索的硬币数量，因为称重数量从零开始增加。会不会是整数序列在线百科全书（OEIS）的新条目？还是已经知道了？

显然，我们可以想出方法来测试无穷无尽的硬币组合。如果您有一个最喜欢的变体，它突出了不同的数学洞察力，请随时在下面的评论部分发布。

快乐的困惑，并保持平衡！

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