高斯积分定理 – 搞英语 → 看世界

高斯于 1818 年证明积分的值

$\int_0^{\pi/2} \left( x^2 \sin^2\theta + y^2 \cos^2 \theta \right)^{-1/2} \, d\theta$

若x和y分别用 ( x + y )/2 和 √( xy ) 代替，则保持不变，即，若用x和y的算术平均值和几何平均值代替 [1]。

例如，如果你想计算

$\int_0^{\pi/2} \left( 9 \sin^2\theta + 49 \cos^2 \theta \right)^{-1/2} \, d\theta$

你可以计算

$\int_0^{\pi/2} \left( 25 \sin^2\theta + 21 \cos^2 \theta \right)^{-1/2} \, d\theta$

注意，在第二个积分中，sin² θ 和 cos² θ 的系数更加接近。如果这两个系数相等就更好了，因为这样被积函数就变成了一个常数，与 θ 无关，我们就可以计算积分值了。如果我们反复运用高斯定理，这两个系数或许会变得更加接近。

我们从x = 3 和y = 7 开始。然后得到x = 5 和y = √21 = 4.5826。如果我们再次计算算术平均值和几何平均值，我们得到x = 4.7913 和y = 4.7874。如果我们再计算一次，我们得到x = y = 4.789013。x 和y的值仍然不同，但仅在小数点后六位不同。

看起来，如果我们不断用x和y的算术平均数和几何平均数代替它们，我们就会收敛到一个常数。事实也确实如此。这个常数被称为x和y的算术几何平均数，记为 AGM( x , y )。这意味着上述积分的值为 π/2√AGM( x , y )。由于导致 AGM 的迭代收敛速度很快，这为计算文章开头提到的积分提供了一种高效的数值算法。

我已经多次写过这个主题，尽管措辞不太具体。例如，请参见这里。AGM 使用更高级的术语，提供了一种计算椭圆积分的有效方法。

[1] BC Carlson，《对数积分平均值的不变性》。《美国数学月刊》，第82卷，第4期（1975年4月），第379-382页。

高斯积分定理一文最先出现在John D. Cook 的文章中。

原文： https://www.johndcook.com/blog/2025/08/31/an-integral-theorem-of-gauss/

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