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勒让德多项式

Posted on 2025-07-08

上一篇文章提到了勒让德多项式。这篇文章将简要介绍这些多项式,并提供一些它们在实际应用中的技巧。

定义勒让德多项式的一种方法如下。

  • P0 ( x ) = 1
  • P k在 [−1, 1] 上正交。
  • 对于所有k ≥ 0, P k (1) = 1。

中间的要点意味着

\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) \, dx = 0

如果m ≠ n 。每个P k都与其前一个 P k 正交的要求决定了P k最多为一个常数,而条件P k (1) = 1 决定了该常数。

这是前几个勒让德多项式的图。

legendre_poly.png

当你绘制大量勒让德多项式时,像上图这样的图表的空白处会出现一个有趣的模式。请参阅这篇文章。

勒让德多项式P k ( x ) 满足勒让德微分方程;这就是他们的动机。

(1 - x^2) y^{\prime\prime} -2x y^\prime + k(k+1)y = 0

这个微分方程出现在球谐函数的背景下。

接下来我将描述勒让德多项式的几何原理。假设有一个三角形,其中一条边的长度为单位,另外两条长边的长度分别为r和y 。

legendre_triangle.png

你可以利用余弦定律,根据r找到y :

y = \sqrt{1 - 2r \cos \theta + r^2}

但是假设你想用 1/ r的级数来表示 1/ y 。(这看起来像是一个任意的问题,但它在应用中会出现。)那么勒让德多项式就能给出该级数的系数。

\frac{1}{y} = \frac{P_0(\cos\theta)}{r} + \frac{P_1(\cos\theta)}{r^2} + \frac{P_2(\cos\theta)}{r^3} + \cdots

资料来源:Keith Oldham 等人。功能图集。第二版。

相关文章

  • 正交多项式与高斯求积法(pdf)
  • 埃尔米特多项式和正态分布
  • 切比雪夫多项式是扭曲的余弦

勒让德多项式一文最先出现在John D. Cook身上。

原文: https://www.johndcook.com/blog/2025/07/07/legendre-polynomials/

本站文章系自动翻译,站长会周期检查,如果有不当内容,请点此留言,非常感谢。
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