帕斯卡三角形内的椭圆 – 搞英语 → 看世界

帕斯卡三角形的第n行包含二项式系数C ( n , r )，其中r 的范围从 0 到n 。对于较大的n ，如果将第n行的数字以二进制形式垂直打印出来，则可以看到一个圆弧。

以下是n = 50 的示例。

帕斯卡圆圈 50.png

你不必使用二进制。这是n = 100 的那一行的数字。如果你眯着眼睛看，可能看不清这些数字，但你可以看到曲线的形状有点像一个圆的一部分。

帕斯卡椭圆1.png

数值表示的长度大致与其对数成正比。改变底数只会改变比例常数。上面的例子表明，帕斯卡三角形中一行对数的图将是圆的一部分，直到其中一个轴有一定比例的缩放，因此通常我们得到的是一个椭圆。

这是n = 1000 的 log C ( n , r ) 图。对于所有较大的n ，形状都是相同的，因此选择n = 1000 根本不重要。

pascal_椭圆4.png

最佳拟合椭圆是

$\left(\frac{r - n/2}{b}\right)^2 + \left(\frac{y-y_0}{b}\right)^2= 1$

其中a = 554.2， b = 47.12， y ₀ = −19.87。

log C (1000, r ) 的图和椭圆的图互相重叠；误差小于绘图线的宽度。这是用椭圆近似 log C (1000, r ) 的相对误差图。

抛物线拟合

沃夫冈指出，由于二项分布具有渐近正态性，因此曲线应该是抛物线而不是椭圆。这完全说得通。

所以我用在 0、 n /2 和n处插入 log C ( n , r ) 的抛物线重新绘制了图表。这也给出了很好的拟合效果，但不如之前那么好！

但这不是一个公平的比较，因为它将最佳（最小二乘）椭圆拟合与方便的抛物线拟合进行比较。

所以我又用最小二乘抛物线拟合重新绘制了图表。拟合效果更好了，但仍然不如椭圆拟合。

在极限情况下，根据中心极限定理，曲线应该是抛物线。但当n = 1000 时，椭圆形更合适。