将八元数表示为矩阵，有点 – 搞英语 → 看世界

可以将复数表示为一对实数或具有实数项的 2×2 矩阵。

$z \leftrightarrow (a, b) \leftrightarrow \begin{bmatrix}a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$

可以将四元数表示为复数对或具有复数项的 2 × 2 矩阵

$q \leftrightarrow (z_0, z_1) \leftrightarrow \begin{bmatrix} z_0 & z_1 \\ -z_1^* & z_0^* \end{bmatrix}$

其中z * 是z的复共轭。

并且，也可以将八元数表示为四元数对或具有四元数项的 2×2 矩阵，但需要稍加改动。

$o \leftrightarrow (q_0, q_1) \leftrightarrow \begin{bmatrix} q_0 & q_1 \\ -q_1^* & q_0^* \end{bmatrix}$

其中q * 是q的四元数共轭。

矩阵乘法符合结合律，但八元数乘法却不符合，所以必须做出一些改变。我们必须稍微改变一下矩阵乘法的定义。

$\begin{bmatrix} \alpha_0 & \alpha_1 \\ \alpha_2 & \alpha_3 \end{bmatrix}\circ\begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 \\ \beta_2 & \beta_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha_0\beta_0+\beta_2\alpha_1 & \beta_1\alpha_0+\alpha_1\beta_3\\ \beta_0\alpha_2+\alpha_3\beta_2 & \alpha_2\beta_1+\alpha_3\beta_3 \end{bmatrix}$

在一半的乘积中，β项位于α项之前。如果α项和β项可交换，则这无关紧要，例如，如果它们是复数，则这应该是普通的矩阵乘法。但是α项和β项是四元数，因此顺序很重要，并且上面定义的矩阵乘积不是标准矩阵乘积。

回到我几天前写的矩阵的矩阵的想法，我们可以将八元数表示为 2×2 矩阵，其元素是 2×2 复数矩阵，等等。

如果你仔细观察上面的矩阵表示，你会注意到四元数和八元数的矩阵表示与复数的模式不太匹配。减号应该放在右上角，而不是左下角。你也可以这样做，但这里存在某种约定俗成的冲突。

文章“将八元数表示为矩阵”最初出现在John D. Cook上。

原文： https://www.johndcook.com/blog/2025/05/25/octonions-as-matrices/