1964年发表了一篇题为“H = W”的论文。这个非常简短的标题并非隐晦。这篇论文的读者清楚地知道它的含义。当时有两类函数空间，一类用H表示，另一类用W表示，它们被推测是相同的，而这篇论文证明了它们确实是相同的。
这篇文章将解释这篇论文的意义。与我的大多数文章相比，它将更加深入，内容也更不完整。如果你仍然感兴趣，请继续阅读。
定义
一个函数的导数在广义意义上可能存在，但在经典意义上却不存在。我在《如何微分不可微函数》一文中介绍了这个概念。广义导数是测试函数[1]上的线性泛函，可能不对应于经典函数。delta“函数”δ( x )就是一个典型的例子。
正则分布是一种分布，它对测试函数的作用等于将测试函数乘以局部可积函数并进行积分。
给定 Ω ⊂ ℝ n ，索博列夫空间W k , p (Ω) 由一些函数组成，这些函数的阶数高达k ，偏导数是位于空间L p (Ω) 中的正则分布。
例如，设I为区间 (−1, 1)，令f ( x ) = | x |。函数f在 0 处不可微，但f的广义导数是符号函数 sgn( x )，对于所有p ，它都在L p ( I ) 中。sgn( x ) 的广义导数为 2δ( x )，它不是正则分布 [2]，因此f ∈ W 1, p ( I )，但f ∉ W 2, p ( I )。
W k , p (Ω) 的范数是函数的L p范数与其k阶以下的各个偏导数之和。
索伯列夫空间H k , p (Ω) 是空间W k , p (Ω) 范数中的测试函数闭包。
定理
这两种定义 Sobolev 空间的方式是否等价，这在先验上并不是显而易见的，但 James Serrin 和 Normal George Meyers [3] 在 1964 年证明，对于所有域 Ω，对于所有非负整数k ，以及对于所有 1 ≤ p且 < ∞ ，我们有
Hk ， p (Ω)= Wk ， p (Ω)。
证明非常简短，不到一页。
意义
为什么这个定理很重要？索博列夫空间是现代微分方程理论的核心。我二十多岁时花了很多时间研究索博列夫空间。
PDE 研究的总体策略是首先寻找方程的广义解，即属于 Sobolev 空间的解，然后如果可能的话证明广义解实际上是一个经典解。
这类似于先证明一个代数方程有一个复数解，然后证明这个复数解是实数，或者先证明一个方程有一个实数解，然后证明这个实数解实际上是一个整数。更容易的做法是先在较大的空间中求解，然后再尽可能地证明你找到的解属于一个较小的空间。
相关文章
[1] 此处的试函数是具有紧支撑的无限可微函数。在其他情况下，试函数不要求具有紧支撑，但要求其能够快速渐近趋近于零，其速度比任何多项式的倒数都要快。
[2] sgn( x ) 的经典导数几乎处处等于零。但作为分布的导数不为零。逐点导数可能不等于广义导数。
[2] Norman G, Meyers; Serrin, James (1964)，《H = W》，《美国国家科学院院刊》，51 (6): 1055–1056
我最喜欢的论文：H = W一文最先出现在John D. Cook 的文章中。
原文： https://www.johndcook.com/blog/2025/05/24/meyers-serrin/