卡方近似值 – 搞英语 → 看世界

在上一篇文章中，我需要知道具有大量自由度的卡方分布的尾部百分位点。当自由度ν较大时，卡方随机变量近似服从正态分布，均值和方差相同，即均值ν和方差2ν。

在那篇文章中，ν 是 9999，我们需要找到 2.5 和 97.5 百分位数。以下是 χ2(9999) 的百分位数：

 >>> chi2(9999).ppf([0.025, 0.975])     数组([ 9723.73223701, 10278.05632026])

以下是N (9999, √19998) 的百分位数：

 >>> 范数(9999, (2*9999)**0.5).ppf([0.025, 0.975])     数组([ 9721.83309451, 10276.16690549])

因此，左端的结果同意三位有效数字，右端的结果同意四位有效数字。

自由度较小

当 ν 更适中时，例如 ν = 30，正态近似就不那么热了。（我们通过观察尾部相当远的地方来强调近似值。越靠近中间，拟合效果越好。）

以下是 χ2(30) 的结果：

 >>> chi2(30).ppf([0.025, 0.975])     数组([16.79077227, 46.97924224])

以下是N (30, √60) 的结果：

 >>> 范数(30, (60)**0.5).ppf([0.025, 0.975])     数组([14.81818426, 45.18181574])

正态分布是对称的，而卡方分布不是对称的，尽管当 ν → ∞ 时它变得更加对称。卡方分布的变换使其更加对称也可以提高近似精度。当 ν = 9999 时，这一点并不重要，但当 ν = 30 时，这一点更为重要。

如果X ~ χ²(ν)，Fisher 建议采用近似值 √(2 X ) ~ N(√(2ν − 1), 1)。

令Y为 N(√(2ν − 1), 1) 随机变量， Z为标准正态随机变量 N(0, 1)。然后我们可以从正态概率估计 χ2 概率。

$\begin{align*} P(X \leq x) &= P(\sqrt{2X} \leq \sqrt{2x}) \\ &\approx P(Y \leq \sqrt{2x}) \\ &= P(Z \leq \sqrt{2x} - \sqrt{2\nu - 1}) \end{align*}$

因此，如果我们想要找到X的百分点，我们可以求解Z的相应百分点。

如果z是P ( Z ≤ z ) = p的点，则

$x = \frac{(p + \sqrt{2\nu-1})^2}{2}$

是P ( X ≤ x ) = p的点。

如果我们用它来查找 χ2(30) 随机变量的 2.5 和 97.5 百分位数，我们会得到 16.36 和 46.48，比以前准确了一个数量级。

当 ν = 9999 时，Fisher 变换给出的百分位数比以前准确两个数量级。

如果X ~ χ²(ν)，则 Wilson–Hilferty 变换为 ( X /ν) ^1/3近似正态，平均值为 1 − 2/9ν，方差为 2/9ν。

这种变换比 Fisher 变换稍微复杂一些，但也更准确。您可以使用 Wilson-Hilferty 变换进行与上述类似的计算，以估算百分比。

现在，此类近似值的主要用途是用于分析计算；软件包可以给出准确的数值结果。对于分析计算，Fisher 变换的简单性可能超过 Wilson-Hilferty 变换的精度提高。