弗雷德霍姆指数 – 搞英语 → 看世界

上一篇关于kernels 和 cokernels 的文章提到，对于线性算子T : V → W ， T的索引定义为其 kernel 维数与其 cokernel 维数之间的差：

指数T = 暗淡焦化器T − 暗淡焦化器T 。

该指数最初被称为 Fredholm 指数，因为它出现在 Fredholm 对积分方程的研究中。（下一篇文章将详细介绍这项工作。）

鲁棒性

线性算子的索引在以下意义上是稳健的。如果V和W是 Banach 空间，且T : V → W是连续线性算子，则在从V到W的连续算子空间中，围绕T存在一个开集，且其下标为常数。换句话说，对T 的微小更改不会改变其索引。

T的微小变化可能会改变内核的尺寸或 cokernel 的尺寸，但不会改变它们的差异。

下一篇文章讨论Fredholm 替代定理。它表示，如果K是希尔伯特空间上的紧致线性算子，而I是恒等算子，则I − K的 Fredholm 指数为零。这篇文章将解释这与求解线性（积分）方程有何关系。

我们可以用空间V和W以及T的核和 cokernel 得出精确的序列，如下所示：

0 → 焦化器T → V → W → 焦化器T → 0

所有这一切意味着一张地图的图像是下一张地图的核心。

我们可以按此顺序取空间维度的交替和：

昏暗的焦化器T – 昏暗的V + 昏暗的W – 昏暗的焦化器T。

如果V和W具有相同的有限维数，则此交替和等于T的索引。

欧拉特征也是交替和。对于单纯形，欧拉特征定义为

V – E + F

其中V是顶点数， E是边数， F是面数。我们可以将其扩展到更高的维度，即零维对象（顶点）的数量减去一维对象（边）的数量，加上二维对象的数量，减去三维对象的数量，等等。

欧拉特征的更复杂的定义是上同调空间维度的交替和。这些也形成了一个精确的序列。

Atiyah-Singer 指数定理指出，对于流形上的椭圆算子，两种指数是相等的：解析指数和拓扑指数。分析指数本质上是 Fredholm 指数。拓扑索引源自流形的拓扑信息。

这类似于高斯-博内定理，该定理说您可以通过积分高斯曲率（一种分析计算）找到欧拉特征（一种拓扑不变量）。

这是三篇系列文章中的中间文章。第一个是关于kernels 和 cokernels ，下一个是关于Fredholm 替代方案。