Fredholm 替代方案之所以如此命名，是因为它是瑞典数学家 Erik Ivar Fredholm 提出的一个定理，该定理有两个替代结论：要么这个为真，要么那个为真。这篇文章将介绍 Fredholm 替代方案的几种形式。
Fredholm 先生对线性积分方程的解很感兴趣，但他的结果可以更一般地描述为关于线性方程解的陈述。
这是一系列帖子中的第三篇，首先是关于内核和 cokernels 的帖子，然后是关于Fredholm 索引的帖子。
Fredholm替代热身
给定一个m × n实数矩阵A和一个列向量b ，
轴= b
有解决方案或
A T y = 0 有解y T b ≠ 0。
这基本上就是我在之前关于kernels 和 cokernels 的文章中所说的内容。从那篇文章：
假设您有一个线性变换T : V → W并且您想要求解方程Tx = b 。 …如果c是W的一个元素，但不在T的图像中，则根据定义， Tx = c无解。为了使Tx = b有解，向量b在W的子空间中不得具有与T的图像互补的任何分量。这个互补的空间就是 cokernel。如果Tx = b想要有解，则向量b在 cokernel 中不得有任何分量。
在这种情况下，您可以说 Fredholm 替代方案可以归结为说b要么在A的图像中，要么不在 A 的图像中。如果b不在A的图像中，则它在A的图像的补集中具有某些分量，即它在 cokernel（ A T的内核）中具有分量。
弗雷德霍尔姆替代方案
我已经看到 Fredholm 替代方案以多种方式表述，[1] 中的以下内容是最清楚的。该定理的“替代”性质是一个推论，而不是在定理中明确的。
如上所述，Fredholm 的兴趣在于积分方程。这些方程可以转换为希尔伯特空间上的算子。
令K为希尔伯特空间H上的紧致线性算子。令I为恒等运算符，且A = I − K 。令A * 表示A的伴随。
- A的零空间是有限维的，
- A的图像是闭合的。
- A的图像是A * 核的正交补。
- 当且仅当A的图像为H时， A的零空间为 0 。
- A的核的维数等于A * 的核的维数。
最后一点说内核和辅内核具有相同的维度，第一点说这些维度是有限的。换句话说， A的Fredholm 指数为 0。
这个定理的“替代”在哪里？
该定理表明非齐次方程有两种可能性
轴= f 。
一种可能性是齐次方程
斧头= 0
只有解x = 0，在这种情况下，非齐次方程对于H中的所有f有唯一解。
另一种可能性是齐次方程有非零解，非齐次方程有解当且仅当f与A * 的核正交，即f与cokernel正交。
自由与约束
我们在关于 kernels 和 cokernels 的文章中说过， kernels 代表自由度， cokernels 代表约束。我们可以将内核元素添加到解决方案中，并且仍然有一个解决方案。要求f与 cokernel 正交是一组约束。
如果A的核具有维度n ，则 Fredholm 替代方案表示A的核也具有维度n 。
如果Ax = f的解x具有n 个自由度，则右侧f必须满足n 个约束。 x的每个自由度对应于A的核的一个基本元素。 f上的每个约束对应于f必须正交的 cokernel 的基本元素。
[1] 劳伦斯·埃文斯。偏微分方程，第二版
Fredholm Alternative帖子首次出现在John D. Cook杂志上。
原文： https://www.johndcook.com/blog/2025/04/20/fredholm-alternative/