上一篇文章显示有 10 个阿贝尔群，有 2025 个元素。这隐含地意味着存在 10 个达到同构的阿贝尔群，即即使看起来不同，但在某种意义上并不“相同”的群。
有时我们很清楚“相同”的含义，没有必要明确地说“达到同构”，这样做会显得迂腐。其他时候，更明确地表达会有所帮助。
在某些情况下，您希望将同构区分为不同的对象。这很好，但这意味着你有一些“不同”的概念，它比“不同构”更严格。例如， x轴和y轴是平面的不同子集，但它们与一维向量空间同构。
阿贝尔群
有一个定理表明，当且仅当m和n互质时，整数群 mod mn ℤ mn与直接和 ℤ n ⊕ ℤ n同构。例如，这意味着 ℤ 15和 ℤ 3 ⊕ ℤ 5是同构的，但 ℤ 9和 ℤ 3 ⊕ ℤ 3不是同构。
由于这个定理，可以得出一个 2025 阶阿贝尔群列表，它看起来与上一篇文章中的列表不同，但实际上是相同的，其中“相同”意味着同构。
在上一篇文章中，我们列出了群的直和，其中每个群都是某个素数幂阶的循环群：
- ℤ 81 ⊕ ℤ 25
- ℤ 81 ⊕ ℤ 5 ⊕ ℤ 5
- ℤ 27 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 25
- ℤ 27 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 5 ⊕ ℤ 5
- ℤ 9 ⊕ ℤ 9 ⊕ ℤ 25
- ℤ 9 ⊕ ℤ 9 ⊕ ℤ 5 ⊕ ℤ 5
- ℤ 9 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 25
- ℤ 9 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 5 ⊕ ℤ 5
- ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 25
- ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 5 ⊕ ℤ 5
我们可以通过组合相对素数阶的群因子来重写这个列表如下：
- ℤ202 5
- ℤ5⊕ℤ405
- ℤ3⊕ℤ675
- ℤ 15 ⊕ ℤ 135
- ℤ9⊕ℤ225
- ℤ 45 ⊕ ℤ 45
- ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 295
- ℤ 3 ⊕ ℤ 15 ⊕ ℤ 45
- ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 75
- ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 15 ⊕ ℤ 15
该列表遵循不同的约定，即每个组的顺序是下一个组的顺序的一个因素。
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Up to isomorphism帖子首次出现在John D. Cook上。
原文： https://www.johndcook.com/blog/2025/01/01/up-to-isomorphism/