每个有限阿贝尔群都可以写成素数幂阶循环群的直和。
为了找到 2025 阶阿贝尔群的数量，我们必须找到将 2025 的因子划分为质数幂的方法数量。
现在 2025 = 3 4 × 5 2 。
我们可以通过 4 种方式将 3 4分解为素数幂：
- 3 4
- 3 3 × 3
- 3 2 × 3 2
- 3 2 × 3 × 3
- 3×3×3×3
我们可以通过两种方式对 5 2进行划分：
- 5 2
- 5×5
这里有一些注释。首先，我们只考虑正能量。其次，如果两个分区由不同顺序的相同因素组成，则认为它们是相同的。例如，3 × 3 × 3 2和 3 2 × 3 × 3 被认为是相同的分区。
由此可见，我们可以将 2025 划分为 10 种素数幂：我们选择五种划分方法之一来划分 3 4 ，并选择两种划分方式之一来划分 5 2 。以下是所有 2025 阶阿贝尔群：
- ℤ 81 ⊕ ℤ 25
- ℤ 81 ⊕ ℤ 5 ⊕ ℤ 5
- ℤ 27 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 25
- ℤ 27 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 5 ⊕ ℤ 5
- ℤ 9 ⊕ ℤ 9 ⊕ ℤ 25
- ℤ 9 ⊕ ℤ 9 ⊕ ℤ 5 ⊕ ℤ 5
- ℤ 9 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 25
- ℤ 9 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 5 ⊕ ℤ 5
- ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 25
- ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 3 ⊕ ℤ 5 ⊕ ℤ 5
给定素数q ，将q k划分为正素数幂的乘积的方法与将k划分为正整数之和（表示为p ( k )）的方法一样多。上面我们已经证明，3 4 5 2阶阿贝尔群的数量等于p (4) p (2)。
一般来说，要找到n阶阿贝尔群的数量，请将n分解为素数幂，然后乘以因式分解中指数的划分数。
相关帖子
2025 阶后阿贝尔群首次出现在John D. Cook上。
原文： https://www.johndcook.com/blog/2025/01/01/abelian-groups-of-order-2025/