数学家掷骰子得到石头剪刀布

正如比尔盖茨所说的那样，沃伦巴菲特曾经向他挑战掷骰子游戏。每个人都会从属于巴菲特的四个骰子中选择一个，然后掷骰子，数字较大者获胜。这些不是标准骰子——它们的数字分类与通常的 1 到 6 不同。巴菲特提议让盖茨先选择，这样他就可以选择最强的骰子。但盖茨检查了骰子后，给出了一个反建议：巴菲特应该先选。

盖茨已经认识到巴菲特的骰子有一个奇怪的特性：没有一个是最强的。如果盖茨先选择，那么无论他选择哪个骰子，巴菲特都能找到另一个可以打败它的骰子（即获胜几率超过 50% 的骰子）。

巴菲特的四个骰子（分别称为A 、 B 、 C和D ）组成了一个让人想起剪刀石头布的图案，其中A打败B ， B打败C ， C打败D ， D打败A 。数学家说这样一组骰子是“不及物的”。

位于圣何塞的美国数学研究所 (AIM) 所长布赖恩·康利 ( Brian Conrey ) 说：“[不及物骰子] 甚至应该存在，这根本不符合直觉。”他在 2013 年就该主题撰写了一篇颇具影响力的论文。

50 多年前，数学家提出了第一个不及物骰子的例子，并最终证明，当你考虑具有越来越多面的骰子时，可以创建任意长度的不及物循环。直到最近，数学家才知道不及物骰子有多么普遍。您是否必须仔细设计此类示例，或者您可以随机选择骰子并有机会找到不及物集吗？

看三个骰子，如果你知道A打B和B打C ，这似乎是A最强的证据； C打败A的情况应该很少见。事实上，如果允许骰子上的数字相加得到不同的总数，那么数学家相信这种直觉是正确的。

但是去年晚些时候在线发布的一篇论文表明，在另一个自然环境中，这种直觉完全失败了。假设您要求您的骰子仅使用出现在普通骰子上的数字，并且与普通骰子的总数相同。然后，该论文表明，如果A打败B ， B打败C，则A和C基本上有相同的机会战胜对方。

剑桥大学的蒂莫西·高尔斯 ( Timothy Gowers ) 说：“知道A打败B和B打败C并不能告诉您有关A是否打败C的信息，”他是菲尔兹奖得主，也是新结果的贡献者之一。称为 Polymath 项目的在线协作。

与此同时，另一篇最近的论文分析了四个或更多骰子的组合。这一发现可以说更加自相矛盾：例如，如果您随机选择四个骰子，发现A打败B 、 B打败C和C打败D ，那么D打败A的可能性略高于A，反之亦然。

不强不弱

最近一连串的结果大约是十年前开始的，当时康利参加了一次数学教师聚会，会议上讨论了不及物骰子。 “我不知道这样的事情会存在，”他说。 “我有点被他们迷住了。”

他决定（后来他在 AIM 的同事Kent Morrison加入）与他指导的三名高中生一起探索这个主题——James Gabbard、Katie Grant 和 Andrew Liu。该小组想知道，随机选择的骰子多久会形成一个不及物循环？

如果骰子的面数总和不同，则不及物骰子组被认为是罕见的，因为总点数最高的骰子很可能会打败其他骰子。因此，该团队决定专注于具有两个属性的骰子：首先，骰子使用与标准骰子相同的数字——在n面骰子的情况下为 1 到n 。其次，面数加起来与标准骰子上的总数相同。但与标准骰子不同的是，每个骰子可能会重复一些数字而忽略其他数字。

在六面骰子的情况下，只有 32 个不同的骰子具有这两个属性。因此，在计算机的帮助下，该团队可以识别出所有A击败B和B击败C的三元组。研究人员惊讶地发现， A在 1,756 个三元组中击败了C ，而C在 1,731 个三元组中击败了A——几乎相同的数字。基于这种计算和对六面以上骰子的模拟，该团队推测，随着骰子的面数接近无穷大， A击败C的概率接近 50%。

这个猜想结合了可访问性和细微差别，让 Conrey 觉得它是一个 Polymath 项目的好素材，在这个项目中，许多数学家聚集在一起在线分享想法。 2017 年年中，他向 Polymath 方法的鼻祖 Gowers 提出了这个想法。 “我非常喜欢这个问题，因为它具有惊人的价值，”高尔斯说。他写了一篇关于这个猜想的博客文章，引起了一阵评论，在另外六篇文章的过程中，评论者成功地证明了这一点。

在他们于 2022 年 11 月下旬在线发布的论文中，证明的一个关键部分涉及表明，在大多数情况下，谈论单个芯片是强是弱是没有意义的。巴菲特的骰子，没有一个是最强的，但并不罕见：如果你随机选择一个骰子，Polymath 项目显示，它很可能击败大约一半的其他骰子并输给另一半。 “几乎每个模具都非常平均，”高尔斯说。

该项目在一个方面与 AIM 团队的原始模型不同：为了简化一些技术细节，该项目声明骰子上数字的顺序很重要——因此，例如，122556 和 152562 将被视为两个不同的骰子。但 Polymath 的结果与 AIM 团队的实验证据相结合，创建了一个强有力的假设，即该猜想在原始模型中也是正确的，Gowers 说。

“我非常高兴他们提出了这个证明，”康利说。

当涉及四个或更多骰子的集合时，AIM 团队预测了与三个骰子类似的行为：例如，如果A打败B ， B打败C ， C打败D ，那么应该有大约 50-50 的概率D打败A ，随着骰子面数接近无穷大，正好接近 50-50。

为了验证这个猜想，研究人员模拟了一组四个骰子的正面交锋比赛，骰子有 50、100、150 和 200 个面。模拟并没有像三个骰子的情况那样完全符合他们的预测，但仍然足够接近以支持他们对猜想的信念。但是，尽管研究人员没有意识到，这些微小的差异传达了一个不同的信息：对于四个或更多骰子的集合，他们的猜想是错误的。

“我们真的希望 [the conjections] 是真的，因为那会很酷，”Conrey 说。

就四个骰子而言，瑞士洛桑联邦理工学院的Elisabetta Cornacchia和卢旺达基加利非洲数学科学研究所的Jan Hązła在 2020 年底在线发布的一篇论文中表明，如果A打败B ，则B打败C并且C打败D ，那么D打败A 的几率略高于 50%——大概在 52% 左右，Hązła 说。 （与 Polymath 论文一样，Cornacchia 和 Hązła 使用的模型与 AIM 论文中的模型略有不同。）

Cornacchia 和 Hązła 的发现源于这样一个事实：尽管通常单个骰子既不强也不弱，但一对骰子有时可以有共同的力量区域。 Cornacchia 和 Hązła 表明，如果你随机选择两个骰子，则很有可能这两个骰子是相关的：它们往往会击败或输给同一个骰子。 “如果我要求你创造两个彼此靠近的骰子，事实证明这是可能的，”Hązła 说。一旦图片中至少有四个骰子，这些相关性的小口袋就会使锦标赛结果偏离对称。

最近的论文并不是故事的结局。 Cornacchia 和 Hązła 的论文只是开始准确地揭示骰子之间的相关性如何使锦标赛的对称性失衡。不过，与此同时，我们现在知道有很多组不及物骰子在那里——甚至可能是一个微妙到足以诱使比尔盖茨首先选择的骰子。