上一篇文章研究了线性代数背景下的伴随物。这篇文章将在范畴论的背景下研究伴随物。
内积空间V和W之间的线性算子T的伴随是线性算子T * ，使得对于V中的所有v和W中的所有w ，
⟨ T v , w ⟩ W = ⟨ v , T * w ⟩ V 。
下标很重要，因为左侧是W中的内积，右侧是V中的内积。将内积视为配对。我们将两个向量空间中的元素配对在一起。范畴论中的附加物会将两个类别中的对象配对在一起。
现在假设我们有两个类别： C和D 。 C和D之间的附加是一对函子 ( F , G )
F : D → C
和
G : C → D
这样
坎C ( Fd , c ) ≅ 坎D ( d , Gc )
对于D中的每个对象d和C中的c 。这里的“Hom”是指从一个对象到另一个对象的态射集合。下标提醒我们态射属于什么类别。左侧是C中的一组态射，右侧是D中的一组态射。
注意之间的印刷相似性
⟨ T v , w ⟩ W = ⟨ v , T * w ⟩ V
和
坎C （ Fd ， c ）≅坎D （ d ， Gc ）。
函子F和G类似于运算符T和T *。不同类别中的态射集类似于不同空间中的内积。
精美印刷
伴随的定义中发生的事情比上面明确的要多得多。特别是，符号“≅”正在做很多繁重的工作。这并不是说两组相等。它们不可能相等，因为它们是不同事物的集合，是不同类别的态射的集合。这意味着两个集合之间存在双射，并且双射是“ d和c 中的自然”。这又意味着对于D中的每个固定d ，Hom C ( Fd , -) 和 Hom D ( d , G -) 之间存在自然同构，并且对于C中的每个固定c ， Hom C ( F -, c ) ≅ Hom D (-, Gc ) 之间存在自然同构。更多相关内容请参见这里。
方向
请注意，附加词有一个方向。对于线性运算符T * 是T的伴随； T不一定是T * 的伴随物。在希尔伯特空间中， T ** 与T同构，但在巴纳赫空间中，这两个运算符可能不同。
类似地， F是G的左伴随， G是F的右伴随。写作F ⊣ G ，这意味着方向很重要。附加语是从一个类别到另一类别。
另请注意，在从类别C到类别D 的附属的情况下，左伴随从D到C ，右伴随从C到D 。这与您的预期相反，并且许多在线资源都弄错了。
挥手的例子
左伴随和右伴随在某种抽象意义上是逆的。通常，在附加对 ( F , G ) 中，函子F添加结构，而函数G取消结构。 F在某种意义上是“自由的”，而G在某种相应的意义上是“健忘的”。并非每个附加词对都遵循这种模式，但您在参考文献中找到的大多数示例都是如此。
例如，令C为拓扑空间和连续函数的范畴， D为集合和函数的空间。令F为函子，它采用集合并赋予它们离散拓扑，使所有函数成为连续函数。令G为函子，它采用拓扑空间并“忘记”其拓扑，将空间简单地视为集合并将其连续函数简单地视为函数。那么F ⊣ G 。
左伴随和右伴随的其他隐喻是左伴随从“下面”近似（即结构较少），右伴随从“上面”近似（即结构较多）。有人说左伴随是“乐观的”，右伴随是“悲观的”。 （这让我想起上周末关于内核和 cokernels的帖子：内核是自由度，cokernels 是约束。）
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文章附件首次出现在John D. Cook上。