转置和伴随 – 搞英语 → 看世界

矩阵的转置使矩阵横向旋转。假设A是一个包含实数项的m × n矩阵。那么转置A ^ᵀ是一个n × m矩阵， A的 ( i , j ) 元素是A ^ᵀ的 ( j , i ) 元素。非常具体。

线性算子的伴随是一个更抽象的概念，尽管它密切相关。矩阵A ^ᵀ有时称为A的伴随矩阵。这可能没问题，也可能会引起混乱。这篇文章将在更一般的背景下定义伴随，然后回到矩阵的背景。

这篇文章以及下一篇或两篇文章将比平常更加抽象。在沉迷于一些纯数学之后，我很快就会回到更具体的主题，例如摩尔斯电码和理发店四重奏。

双空间

在定义伴随词之前，我们需要定义对偶空间。

令V为域F上的向量空间。您可以将F视为 ℝ 或 ℂ。那么V * 是V的对偶空间，即V上的线性泛函空间，即从V到F的函数的向量空间。

当向量空间为 ℝ ⁿ时，向量空间及其对偶之间的区别似乎是人为的。 ℝ ⁿ的对偶空间与 ℝ ⁿ是同构的，因此它们之间的区别看起来有些迂腐。当两个空间不同构时，更容易理解V和V * 之间的区别。

线性算子T : V → W的伴随是线性算子T *: W * → V * ，其中V * 和W * 分别是V和W的对偶空间。因此T * 采用从W到域F 的线性函数，并返回从V到F的函数。 T * 是如何做到这一点的？

给定W * 的元素w *， T * w * 采用V中的向量v并将其映射到 F

( T * w *)( v ) = w *( Tv ) 。

换句话说， T * 采用W上的函数w * 并将其转换为V上的函数，方法是将V的元素映射到W ，然后让w * 作用于它们。

请注意这个定义不包含什么。没有提及内积、基或矩阵。

该定义在可能没有内积或基的向量空间上有效。这不仅仅是一个观点问题。这并不是说我们的空间有内积，但我们选择忽略它；我们可能正在研究无法定义内积或基的空间，例如 ℓ ^∞ ，即有界序列的空间。

由于矩阵表示相对于某个基的线性运算符，因此您不能在没有基的空间上谈论运算符的矩阵表示。

对于域F上的向量空间V ，表示函数 ⟨ ·, · ⟩，它从V中获取一个元素，并从V * 中获取一个元素，并通过将后者应用于前者来返回F的元素。也就是说，⟨ v , v * ⟩ 被定义为v * 对v的作用。这不是内积，但该符号旨在表明与内积的联系。

通过这个记号，我们有

⟨ T v , w * ⟩ _W = ⟨ v , T * w * ⟩ _V

根据定义，对于V中的所有v和W中的所有w 。这是T * 以不同表示法的定义。括号上的下标是为了提醒我们，等式左边是将W * 的元素应用于W的元素而得到的F的元素，而右边是将V * 的元素应用于V的元素而得到的F的元素。

上述伴随的发展强调了不一定存在可见的内积。但是如果V和W上存在内积，那么我们可以通过将v与 ⟨ ·, v ⟩ 关联来定义将v的元素转换为V * 的元素，其中现在括号确实表示内积。

现在我们可以将伴随的定义写为

⟨ T v , w ⟩ _W = ⟨ v , T * w ⟩ _V

对于V中的所有v和W中的所有w 。这个定义是合法的，但从技术意义上来说它是不自然的，因为它取决于我们对内积的选择，而不仅仅是运算符T和空间V和W 。如果我们在V和W上选择不同的内积，那么T * 的定义也会改变。

我们在非常一般的环境中定义了线性算子的伴随，其中可能看不到矩阵。但现在让我们看一下T : V → W的情况，其中V和W是有限维向量空间，在 ℝ 或 ℂ 上。（ℝ 和 ℂ 之间的差异很重要。）并让V和W上的内积确定。这总是可能的，因为它们是有限维的。

T * 的矩阵表示如何对应于T的矩阵表示？

假设V和W是实数向量空间， A是T : V → W的矩阵表示，涉及每个空间上的某些基选择。还假设V * 和W * 的基数由V和W的基数的对偶给出。那么T * 的矩阵表示就是A的转置。您可以通过显示来验证这一点

⟨ A v , w ⟩ _W = ⟨ v , A ^ᵀ w ⟩ _V

对于V中的所有v和W中的所有w 。

A的伴随只是A的转置，取决于我们选择的基数和内积。

现在考虑V和W是复数上的向量空间的情况。一切都按照上面的方式进行，只是有一点问题。如果A是T : V → W关于给定基的表示，并且我们如上所述为V * 和W * 选择基，则A ^ᵀ的共轭就是T * 的矩阵表示。 A的伴随物是A *， A的共轭转置。和以前一样，您可以通过显示来验证这一点

⟨ A v , w ⟩ _W = ⟨ v , A ^* w ⟩ _V

我们必须取A ^ᵀ的共轭，因为复杂情况下的内积需要取一侧的共轭。