在撰写上一篇文章的过程中，我偶然发现了朗道-拉马努金定理。虽然它不是我想要的，但它是一个有趣的结果。
小于N 的数中，有多少部分可以写成两个非负整数平方和？埃德蒙·兰道于 1908 年发现，斯里尼瓦瑟·拉马努金于 1913 年独立地重新发现，该比例是渐近的
c / (log N ) 1/2
其中，朗道-拉马努金常数c等于 0.76422…。
让我们看看小于 1000 的平方数与定理给出的估计值相比如何。
从数学导入 sqrt、log N = 1000 c = 0.76422 print("预测： ", c / sqrt(log(N))) sumsq = N*[0] 对于范围内的 i（N）： 对于范围内的 j (N)： n = i**2 + j**2 如果 n < N： sumsq[n] = 1 print("精确：", sum(sumsq)/N)
预测比例为0.291，准确比例为0.330。
该脚本需要O （ N² ）的时间来运行，因此如果我们想要研究非常大的N ，我们需要做一些更聪明的事情。
计算平方和一文最先出现在John D. Cook 的文章中。
原文： https://www.johndcook.com/blog/2025/07/29/counting-sums-of-squares/