编程、数学，什么都行。法学硕士能预测物理实验的结果吗？
假设我将 8 盎司（226.8 克）沸水倒入一个重 1.25 磅（0.57 千克）的陶瓷咖啡杯中。环境空气静止，温度为 20 摄氏度。杯子初始温度为室温。请写出一个方程，表示水的温度随时间（以摄氏度为单位）的变化。方程中唯一的自由变量应该是自倒水以来经过的秒数 t。重点关注前 5 分钟的精确度。
这很难吗？我觉得很难。相关的物理现象至少包括：
- 水、杯子、空气和桌子之间的热传导。
- 这些物体内部的热传导。
- 水和空气内部的对流（流体运动）。
- 水分子蒸发变蒸气体时会产生蒸发冷却效应。
- 空气中水蒸气的运动。
- 辐射。（和所有物质一样，杯子和水都会发出与温度相关的红外辐射。）
- 表面张力、热胀冷缩、水冷却时空气重新被水吸收，可能还有更多因素。
题目中没有明确说明很多细节。杯子是瓷的还是陶的？杯子的形状是什么？桌子是什么材质的？空气湿度如何？我该如何将空间变化的水温简化为一个单一数值？
所以，这不是一个可以通过思考找到“正确”答案的问题。现实远比这复杂。相反，回答这个问题需要“判断力”——猜测哪些因素最重要，对缺失的细节做出假设等等。
所以我向一些法学硕士提出了这个问题。以下是他们的回答：
（严格来说，他们给出的方程式是文本形式。我正在绘制这些方程式的图像。）
那些曲线图让我很惊讶，无论是他们预测的温度在开始时下降得如此之快，还是预测的温度在后期下降得如此之慢。他们认为最初几分钟的降温幅度与接下来一小时内的降温幅度相当。这真的对吗？
然后我开始做实验。首先，我等到环境温度恰好达到20摄氏度。接着，我往量杯里倒入8盎司水，用微波炉加热至沸腾，让温度稍微稳定一下，然后再用微波炉加热至沸腾。之后，我把沸水倒入一个1.25磅重的咖啡杯里，杯子里放着一个数字温度计，我每隔五秒钟就喊出温度读数，而“动力生物学家”则疯狂地记录着这些读数。之后，我逐渐将测量间隔缩短到每15秒、30秒、1分钟，最后是5分钟。
请看：
或者，这里是前五分钟的放大视图：
所有预测都还行，但没有一个特别出色。克劳德4.6 Opus的预测可能最好，尽管它消耗了价值0.61美元的代币。（此处可插入关于物理实验/国防部/金钱/咖啡的笑话。）
话虽如此，预测结果最让我惊讶的是，温度在最初几分钟内下降得如此之快，之后下降得却如此之慢。但实验结果显示，温度在早期下降得更快，到最后甚至下降得更慢。所以，如果要把我的直觉和线性模型结合起来，我想我的直觉权重应该为零。
总之，他们或许能学会我们的数学，但要学会我们的精细动作控制能力，则需要更长的时间。感谢您阅读这篇关于初中科学项目的文章。
（附录：方程式）
以下是所有模型给出的T(t)的实际方程，即t秒后的预测温度。
| 法学硕士 | T(t) |
成本 |
|---|---|---|
| Kimi K2.5（推理） | 20 + 52.9 exp(-t/3600)+ 27.1 exp(-t/80) |
0.01美元 |
| Gemini 3.1 Pro | 20 + 53 exp(-t/2500) + 27 exp(-t/149.25) |
0.09美元 |
| GPT 5.4 | 20 + 54.6 exp(-t/2920) + 25.4 exp(-t/68.1) |
0.11美元 |
| 克劳德 4.6 作品（推理） | 20 + 55 exp(-t/1700) + 25 exp(-t/43) |
0.61美元（哎呀） |
| Qwen3-235B | 20 + 53.17 exp(-t/1414.43) |
0.009美元 |
| GLM-4.7（推理） | 20 + 53.2 exp(-t/2500) |
0.03美元 |
有趣的是，它们都基于一个或两个指数衰减项。理解这些函数的方法是将exp(-t/b)看作一个函数，当t为零时，该函数值为 1，然后逐渐减小。经过b秒后，它降至 1/e ≈ 0.368，并且每隔b秒以 0.368 的因子继续减小，直至永远。
所以大多数这类温度计都有“快速加热”模式，用于测量水的热量传递到杯子中的速度，以及“慢速加热”模式，用于测量水/杯子的热量传递到空气中的速度。少数型号没有快速加热模式。我还试过DeepSeek和Grok，但他们只是漫无目的地瞎折腾，始终没有给出任何答案。更“贴心”的是，他们还收了我的服务费。