我小时候听过一则银行广告，说你的储蓄账户利息会随着心跳而增加。我觉得这说法很奇怪，也好奇它到底是什么意思。如果你心跳快，你的钱是不是会更频繁地增加复利？
我猜想其中可能有一些细则，比如说利息每秒复利一次之类的。超过一定频率，利息复利的频率就不那么重要了，而连续复利的本质就是：利息复利的频率如此之高，以至于复利的频率都无关紧要[1]。
那么，你需要多久复利一次，才能让离散复利和连续复利之间的差异变得无关紧要呢？这取决于你认为什么是重要的。你对重要的事情要求越高，离散复利就需要越精细。利率是多少也很重要。以下 Python 函数 [2] 给出了连续复利和每年复利n次（利率为r ，复利原则为P）之间的差异。
def f（P，n，r）：返回P *（exp（r）-（1 + r / n）** n）
首先，假设复利频率对一笔100万美元的贷款在一年内产生的差额超过1美元，那么复利频率就很重要。连续利息和按6%的日复利利率计算的差额为5.24美元。如果我们将复利频率提高到每小时，差额为0.22美元，那么我们认为这无关紧要。
当利率上升时，连续复利和离散复利之间的差额也会扩大。如果我们将利率提高三倍至18%，现在的差额是2.21美元，但如果我们每分钟都进行复利，差额就只有0.04美元。
现在，如果我们的要求更高，希望一百万美元的本金利息差额不超过一美分，我们就需要更频繁地复利。在这种情况下，假设利率为18%，每秒复利一次就足够了，这意味着对于任何较低的利率来说，这个频率都足够了。
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[1] 可以使该陈述严格化，即对于每一个重要定义，即对于每一个公差 ε，都存在一个N ，使得对于所有n > N ，连续复利和n期复利之间的差异小于 ε。
[2] 只要n不是太大，该 Python 函数在理论上是正确的，在实践中也是如此。n 过大可能会导致数值问题，我们将在下一篇文章中讨论。
这篇帖子“随着每一次心跳而增加的兴趣”最先出现在约翰·D·库克 (John D. Cook)身上。
原文： https://www.johndcook.com/blog/2025/07/20/continuous-interest/