正方形上的拉普拉斯算子的特征值

这个方程的解是什么

uxx + uyy ₌ λ _u

在单位正方形上，要求边界上的u ( x , y ) = 0？

很容易看出这些函数

u ( x , y ) = sin( mπx ) sin( nπy )

是解决方案

λ = ( m² + n² )π²

对于非负整数m和n 。虽然这些是唯一的解并不那么明显，但我们会相信这一点。

上一篇文章讨论了波利亚对一般区域D中拉普拉斯算子 Δ 的特征值的界定，该界定仅要求D的副本能够平铺在平面上而不重叠。正方形当然满足这个要求，所以这篇文章中的问题是上一篇文章中问题的一个特例。那么，它们之间如何比较呢？

Pólya 给出了第k个特征值的下限，那么我们如何对 ( m² + n² )π 形式的数字进行排序呢？

有一个定理可以计算从n到x的数，其中n是两个平方和。这个定理就是朗道-拉马努金定理。但它似乎与波利亚的边界相矛盾。这是因为朗道-拉马努金定理只对每个n计算一次，但如果一个数可以以多种方式写成平方和，则特征值需要计算多次。

例如，25π² 应该算作四次特征值，对应于 ( m , n ) = (5, 0)、(0, 5)、(3, 4) 和 (4, 3)。

第 k个特征值大约是多少？设非负整数m和n满足

( m² + n² ) π²≤x

则 ( m , n ) 位于半径为 √ x /π 的圆内。对于较大的x ，此类对的数量约为第一象限中半径为 √ x /π 的圆的面积，即x / 4π。因此，第k个特征值约为 4π k ，这与波利亚定理中面积为 1 的区域的下限 4π k相符。