根据置信区间推断样本量 – 搞英语 → 看世界

上一篇文章提到，一项研究发现曼德布洛特集面积的 95% 置信区间为 1.506484 ± 0.000004。得出这个结论的样本量是多少？

比例的 95% 置信区间为

$\hat{p} \pm 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p} \,(1 - \hat{p})}{n}}$

因此，如果宽度为w的置信区间以比例估计值p hat 为中心，那么我们可以解

$\frac{w}{2} = 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}$

找到

$n = 15.37 \frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{w^2}$

现在，在文章开头的例子中，我们从正方形 [-2, 2] × [-2, 2] 中随机采样点，并计算有多少个点落在曼德布洛特集合内。正方形的面积为 16，因此p等于 1.506484 / 16。面积的置信区间宽度为 8 × 10 ⁻⁶ 。这意味着比例的置信区间宽度为 5 × 10 ⁻⁷ ，因此n = 5.244 × 10 ¹² 。

关于曼德布洛特区域的疑问

上述推理对于从置信区间推断样本量是正确的，但它在曼德布洛特集的具体应用值得怀疑。真的有人做过超过一万亿次迭代吗？显然没有。

据我所知，这就是上述估计的来源。它并非基于随机样本，而是基于规则的样本网格，将其视为随机样本，然后进行外推得到上述估计。结果可能正确，但并非简单的蒙特卡洛估计。我没有仔细看过页面，但我怀疑报告的置信区间太小；在外推时，误差线往往会扩大。

从置信区间推断样本大小一文最先出现在John D. Cook身上。

原文： https://www.johndcook.com/blog/2025/09/08/inferring-sample-size/