最圆的正立体 – 搞英语 → 看世界

十二面体和二十面体

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（可能）令人惊讶的事实：正十二面体比正二十面体更圆。

你可能会合理地认为，边数越多，图形就越圆，所以有 20 条边的图形应该比有 12 条边的图形更圆。但事实恰恰相反。

离散曲率

这里有一种方法可以理解上述陈述。在十二面体中，三个五边形在每个顶点处相交。五边形的内角为 108°。如果你把这三个五边形沿着一个平面切开一条缝，然后把它们平放在一个平面上，就会有一个间隙

360° − 3 × 108° = 36°。

这个间隙被称为角度缺陷，是曲率的离散类似物。

二十面体中有五个三角形，它们汇聚于一点。所以，如果你把这五个三角形的顶点向下推到一个点，就会出现一个缺口（角缺陷），

360° − 5 × 60° = 60°。

角度缺陷越大，意味着顶点处的形状越不圆。

为了完整起见，立方体的内角是 90°。八面体的内角是 240°，四面体的内角是 270°。

角缺陷是测量多面体圆度的标准方法。它关注的是面在顶点处的贴合程度。但我们可以关注面在边处的贴合程度。两个相邻面之间的夹角就是二面角。

二十面体的面交角约为 138.19°。十二面体的面交角为 116.57°。因此，二十面体的面交角更接近 180°，因此更圆。

八面体、立方体和四面体的二面角分别为 109.47°、90° 和 70.53°。