想一个数字。数学魔术师怎么知道它是什么？

数学有一定的逻辑。如果你用它来准确地描述一种情况，有时你可以提前几个世纪预测不可避免的事情——例如，日食发生的那一刻。对于那些不熟悉预测背后的数学的人来说，这个结果可能看起来很神奇。的确，科幻小说作家亚瑟·克拉克（Arthur C. Clarke）有句名言：“任何足够先进的技术都与魔法无异。”

在今天的 Insights 谜题中，我们将探讨四个数学魔法的例子，乍一看，它们就像读心术。就像舞台魔术一样，这些例子会让你想知道，“他们怎么知道的？”

我们很多人小时候都经历过这种情况。一位朋友要求我们在不透露的情况下想出某个数字。然后我们被要求对其进行一系列简单的算术运算。最后，我们的朋友告诉我们我们的密码，让我们大吃一惊。那么这是怎么做到的呢？

这是一个简单的例子，它可能会让你生活中的孩子大吃一惊，甚至激发对数学的迷恋。它被爱丽丝梦游仙境的作者刘易斯卡罗尔用于此目的。卡罗尔是牛津大学的数学家和狂热的益智者，他的数学谜题让许多数学家感到高兴，包括著名的陶伦斯。

谜题 1

这个魔术是为能够可靠地进行乘法运算的孩子设计的（如果不能，请让助手帮助他们）。让你自己的小爱丽丝（或鲍勃）想一个三位数的数字，但不要告诉你它是什么。然后告诉他们，您将通过并排制作两个副本来显示该数字！首先让孩子将他们的数字乘以 7。然后让他们将答案乘以 11。最后——此时你可以假装专注和适当的魔法短语——让他们将第二个答案乘以 13。

如果孩子做得对，您可能会发现他们的脸上开始露出微笑。对您或年龄较大的孩子来说，问题是——为什么这样有效？

如果您对更多 Lewis Carroll 数学谜题感兴趣，可以在这里找到它们。现在让我们进入一些更难的事情。

谜题 2

在 2 和 9 之间有两个未知数。这两个数可以包括 2 或 9，并且它们都可以是同一个数。 S和P是两位逻辑完美的数学家。 S 只给出两个数字的总和，而 P 只给出乘积。 S 和 P 都知道我们刚刚指定的所有内容。这是他们随后的对话。

S：我无法推​​断出这两个数字是什么。

普：我也不能。

人：啊哈！现在我知道这两个数字是什么了！

普：我也是！

乍一看，这似乎是一种神奇的读心术——他们从哪里获得解决问题的新信息？你能算出这两个数字吗（有两个可能的答案）。你能解释一下 S 和 P 是怎么做到的吗？

提示：将 S 和 P 在每个点上的所有信息制成表格，弄清楚他们可以推断出什么。请记住考虑所有可能的情况。这不涉及任何困难的计算，但很容易对他们每个人都知道什么感到困惑。

现在是一个更难的版本，它有更多的可能性。

谜题 3

同样，有两个未知数可能相等，但现在它们介于 2 和 50 之间。同样，S 仅给出两个数字的总和，而 P 仅给出乘积。这次他们的谈话是这样的。

P：我无法推​​断出这两个数字是什么。

S：我本可以告诉你的，尽管我也无法推断出这些数字。

普：啊哈！现在我知道这两个数字是什么了！

人：我也是！

再次，找到这两个数字并解释 P 和 S 是如何做到的。

在谜题 2 中，您有 15 个独特的和，包含 64 个产品。在这个中，您有 2,804 种产品的 97 个独特的总和。纸上的制表对于谜题 2 来说已经足够了，但现在呢？当然，您可以使用电子表格或编写计算机算法，一些读者无疑会尝试。但是如果你仔细注意谈话，尤其是 S 的第一句话，你可以通过应用一些初等数论来显着限制可能性，是的，你仍然可以在纸上解决问题。所以我们的第二个问题是：使用数论原理，在明智的排除之后，您必须手动检查的最小案例数（总和和乘积）是多少？

我们的下一个问题展示了如何在纸牌把戏中读心术。但是这个技巧是严格数学的，并且有一些有趣的数学基础。

谜题 4

一位“数学魔术师”通过扔掉 2 到 6 来准备一副 32 张牌。她按照一定的顺序排列剩余的牌，然后将牌面朝下放在桌子上。随机选择五人上桌。他们每个人一个接一个地切割甲板。然后第一个人拿走最上面的牌，然后把牌递给第二个人，第二个人拿走当前最上面的牌，依此类推。一旦每个人都有一张牌，最后一个人将牌面朝下放回桌子上，然后他们都回到座位上。

现在表演者要求五个人通过心灵感应向她发送他们的卡片。她的脸上掠过一丝专注的皱眉。最后，她无奈地摇摇头。 “这几天越来越难了，”她说。 “宇宙的膨胀导致了红移，干扰了我接收到的颜色。有红牌的人请站出来好吗？”

第二个和第五个参与者站起来。数学家的脸上浮现出如释重负的神色。 “现在很清楚了，”她说。 “你有红心10，你有钻石王。”他们确实如此。她继续正确地猜出其他三个人的牌。

她是怎么做到的？好吧，既然我告诉过你这个技巧是严格数学的，很明显她记住了卡片顺序（可能使用某种代码），卡片顺序以某种方式在五次随机切割中幸存下来。你能想出一个办法吗？提示：考虑序列 00010111。它循环地包含从 0 和 1 形成的所有八个可能的三元组：000、001、010、101、011、111、110 和 100。如果你像你想的那样“切割”它会发生什么卡组？

表演者的舞台戏谑仅仅是戏剧，还是戏法必不可少的？

你能想出一个容易记住的卡订单代码（当你执行这个技巧时）？

这就是今天的内容。我希望您对数学和逻辑如何帮助您从如此少的信息中推断出如此多的信息印象深刻。现在，这太神奇了！

玩得开心解开所有这些技巧是如何完成的。

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