嵌入、投影和逆 – 搞英语 → 看世界

我刚刚修改了一周前关于轮换的帖子。此次修订明确了将 3D 向量嵌入四元数然后将其拉出的过程。

通过使其成为实部为零的四元数的向量部分，将 3D 向量嵌入到四元数中：

( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) → (0, p ₁ , p ₂ , p ₃ )

四元数通过切除实部返回到 3D：

( p ₀ , p ₁ , p ₂ , p ₃ ) → ( p ₁ , p ₂ , p ₃ )。

为了给四元数移动和移出的过程命名，我们有一个嵌入E ： ℝ ³到 ℝ ⁴和一个从 ℝ ⁴到 ℝ ^{3 的}投影P。

我们可以将E表示为 4 × 3 矩阵

$E = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

和P为 3 × 4 矩阵

$P = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

我们想说E和P是倒数。当然， P会撤销E所做的事情，因此从这个意义上来说，它们是相反的。但E无法撤消P ，因为您丢失了从 ℝ ⁴到 ℝ ³投射的信息，并且E无法恢复丢失的信息。

本文的其余部分将探讨逆的三种推广以及E和P与每种推广的关系。

左右反转

两个矩阵都不可逆，但PE等于 ℝ ³上的单位矩阵，因此P是E的左逆矩阵， E是P的右逆矩阵。

$PE = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

另一方面， EP不是单位矩阵，因此E不是E的左逆矩阵， P也不是E的右逆矩阵。

$EP = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

伴随

P是E的转置，这意味着它是E的伴随。伴随词是推广逆概念的另一种方式。更多内容请参见此处。

伪逆

Moore-Penrose 伪逆的行为很像逆，这有点不可思议，因为所有矩阵都有伪逆，甚至是矩形矩阵。

伪逆是对称的，即如果A ⁺是A的伪逆，则A是A ⁺的伪逆。

给定一个m × n矩阵A ，Moore-Penrose 伪逆A ⁺是满足四个条件的唯一n × m矩阵：

A A ⁺ A = A
A ⁺ A A ⁺ = A ⁺
( A A ⁺ )* = A A ⁺
( A ⁺ A )* = A ⁺ A

为了证明A ⁺ = P我们必须建立

E P E = E
政治公众号= A ⁺
( EP )* = EP
( PE )* = PE

上面我们计算了EP和PE ，两者都是实数且对称，所以性质 3 和性质 4 成立。

我们还可以计算

$EPE = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = E$

和

$PEP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} =P$

表明性质 1 和 2 也成立。

左右反转

伴随

伪逆

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