在零点处平坦的反演级数

Posted on 2025-09-22

上一篇文章讨论了如何解方程

$2\theta + \sin(2\theta) = \pi \sin( \psi)$

这源于摩尔维特投影。除非φ接近π/2，否则牛顿法效果很好。当φ = π/2时，使用改进的牛顿法可以加快收敛速度，但这有点没用，因为我们知道解是$theta; = π/2。当φ接近π/2时，改进的牛顿法可能会发散。我在上一篇文章的结尾提到，当φ足够接近π/2时，级数解的效果会更好。这篇文章将进一步阐明这一点。

设x = π − 2θ。现在的任务是求解

$x - \sin(x) = y$

对于y的较小正值。

左边是

$\frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots$

因此，对于非常小的y值，以及非常小的x值，我们有

$x = (6y)^{1/3}$

如果这个解不够精确，我们可以对上面的幂级数求逆，得到y 的幂级数，从而得到解x 。然而，拉格朗日反演定理并不适用，因为该级数在 0 处导数为零。因此，我们必须使用普伊瑟克斯级数反演，寻找y的^1/3级数，而不是y的级数。从普伊瑟克斯级数中我们可以看出：

$x = (6y)^{1/3} + y/10$

是一个更精确的解。为了获得更高的精度，你可以计算更多 Puiseux 级数的项。

文章“在零处平坦的反转系列”首先出现在John D. Cook上。

原文： https://www.johndcook.com/blog/2025/09/21/mollweide-for-high-latitudes/