我们每次呼吸，会吸入多少凯撒最后一口气中的分子？令人震惊的是，答案只有一个分子——我们确实与凯撒共享呼吸！而且，我们每一次呼吸都由所有曾经在世的人——苏格拉底、林肯、爱因斯坦等等——之前的呼吸组成。这难道不不可思议吗？
这是费米估算的经典练习——甚至有一本书以此命名。它完美地展现了餐巾纸数学的威力，展示了仅凭几个粗略的数字就能计算出多少结果。
估算数量是一项宝贵的技能——如果你对此不太信服，可以看看Nabeel Qureshi 的博客。它比看起来更容易、更有趣，而且当我意识到自己经常能在一个数量级内找到结果时，我发现自己越来越享受这个过程了。
让我们一起走过凯撒的最后一口气吧！
我们需要确定
- 地球大气层的体积，以及
- 呼吸的量。
如果我们假设呼吸均匀地扩散到整个大气中，并且这些分子随着时间的推移而保存下来（一个合理的假设——氮气相对惰性），那么我们可以假设
$\text{fraction} = \frac{\text{volume breath}}{\text{volume atmosphere}}$
找出地球大气中有多少部分是由凯撒的最后一口气组成的，然后将其乘以呼吸中的分子数即可得到答案（大气成分 = 呼吸成分）。
以下是一些“锚”值：
- 地球半径约为 6400 公里 = 6.4×10^6 米
- 大气层的稠密部分高度约为 10 公里 = 10^4 米
- 大气中主要由 O₂ 和 N₂ 组成，浓度均为 ≈ 30 g/mol（1 mol ≈ 6×10^23 个分子）
- 大气密度约为1 kg/m³
- 想要获得更多“锚定”数字来支持你的费米估算，请点击此处
找到其中一些值本身就是费米估计——你可能知道珠穆朗玛峰大约10公里高，或者飞机在这个高度巡航，并以此作为大气厚度的估算。更好的方法是，应用几何平均数：如果大气延伸肯定超过1公里，但可能小于100公里，那么猜测$\sqrt{1 \times 10^{2}} = 10$公里——这就是正确的数量级。
大气体积
球体的体积为 $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$。近似计算 $\tfrac{4}{3}\pi \approx 4$，可得 $V \approx 4r^3$。大气层位于 $r=6400,$km 和 $r=6410,$km 之间的外壳层，因此
$V_{\text{大气}} \approx 4\bigl((6400+10)^3 – 6400^3\bigr),\text{km}^3 \approx 4.9\times10^9,\text{km}^3 \approx 5\times10^9,\text{km}^3 = 5\times10^{18},\text{m}^3.$
呼吸量
如果你用正常的呼吸给气球充气，它的半径大概是 ≈ 5 厘米。因此
$V_{\text{breath}} = \tfrac{4}{3}\pi r^3 \approx 4\times5^3 \approx 500,\text{cm}^3 = 5\times10^{-4},\text{m}^3.$
每次呼吸的大气分数
大气层的$\displaystyle \frac{5\times10^{-4}}{5\times10^{18}} = \frac{1}{10^{22}}$。
每次呼吸的分子数
呼吸的质量是
$5\times10^{-4},\text{m}^3 \times 1,\text{kg/m}^3 = 5\times10^{-4},\text{kg} = 5\times10^{-1},\text{g}.$
然后
$6\times10^{23},\frac{\text{molecules}}{\text{mol}} \times \frac{1,\text{mol}}{30,\text{g}} \times 0.5,\text{g} = 10^{22},\frac{\text{molecules}}{\text{breath}}.$
整合起来
$10^{22}\times\frac{1}{10^{22}} = 1$
所以我们每次呼吸，都会吸入凯撒最后一口气中大约一个分子。显然，我们做了许多简化处理。但我们可以确信，我们的数量级是正确的！
如果你想要了解更多，这里有一个有趣的网站可以练习。如果你像我一样热爱软件工程，并且想要获得更多实践经验，请查看这个 repo及其相关的技术讲座。最后，这里还有一篇关于费米估计的好文章。