八元数有时会关联 – 搞英语 → 看世界

你可以使用复数的规则来计算实数对的乘积。复数具有实数的所有代数结构，也就是说，它们构成一个域。

有一个通用的过程，即凯莱-迪克森构造，它可以让您从 1 个实数引导乘法到 2、从 2 到 4、从 4 到 8 等。您可以根据需要重复该过程多次，在^{2n 个}数字的列表上定义乘法，但您会在过程中失去结构。

四元数

四元组相乘得到四元数。四元数保留了实数和复数的大部分结构。乘法符合结合律。非零元素有乘法逆元，也就是说，可以进行除法运算。乘法运算符合范数：

|| xy || = || x || · || y ||。

但乘法不满足交换律：一般来说， xy ≠ yx ，

八元数相乘得到八元数。非零元素仍然具有乘法逆元，并且乘法仍然像上面一样符合范式。但现在，乘法不仅不满足交换律，甚至不满足结合律：一般来说，( xy ) z ≠ x ( yz )。本文想要详细阐述的正是“一般来说”这一部分。

任何两个元素生成的子代数都是符合结合律的。例如，( xy ) x = x ( yx )。如果固定x和y ，并观察所有可以通过对这些元素进行加、乘、共轭、求逆以及将它们乘以一个实数而形成的八元数，就会得到一组符合结合律的八元数。

事实上，由两个八元数生成的子代数与实数、复数或四元数同构，这取决于你从哪两个八元数开始。

几年前，一篇关于八元数的文章引起了我的注意。有人指出，我写的一个方程

x * = − ( x + ( e ₁ x ) e ₁ + … + ( e ₇ x ) e ₇ ) / 6

可以更简单地写成

x * = − ( x + e ₁ x e ₁ + … + e ₇ x e ₇ ) / 6。

因为每个项只涉及两个不同的八元数。

下一步，将 16 元组实数相乘，得到十六进制数 [1]。现在我们失去了更多的结构。乘法不满足交换律，也不满足结合律，两个非零数的乘积可能为零。这意味着范数性质

|| xy || = || x || · || y ||

由于当右侧尺寸不为零时左侧尺寸可以为零，因此不存在这种情况。

此外，十六元数不具有八元数那样的弱结合律 ( xy ) x = x ( yx )。

凯莱-迪克森阶梯的下一级是32元组的家族，称为三元组[2]。十六元组很乱，而且它们是三元组的子集，所以三元组也很乱。