二项式系数的类似物 – 搞英语 → 看世界

有几个数与二项式系数类似，至少在唐纳德·克努斯的符号中，它们的书写方式与二项式系数类似。正如二项式系数可以排列成帕斯卡三角形一样，这些数也可以排列成相似三角形。

在帕斯卡三角形中，每个元素都是其上方两个元素之和。具体来说，

$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$

q 二项式系数满足两个相似的恒等式。

$\begin{align*} \binom{n}{k}_q &= q^k \binom{n-1}{k}_q + \binom{n-1}{k-1}_q \\ &= \binom{n-1}{k}_q + q^{n-k}\binom{n-1}{k-1}_q \end{align*}$

以下是第一类斯特林数的类似定理

$\left[ \begin{矩阵} n \\ k \end{矩阵} \right] = (n-1) \left[ \begin{矩阵} n-1 \\ k \end{矩阵} \right] + \left[ \begin{矩阵} n-1 \\ k-1 \end{矩阵} \right]$

第二

$\left\{ \begin{矩阵} n \\ k \end{矩阵} \right\} = k \left\{ \begin{矩阵} n-1 \\ k \end{矩阵} \right\} + \left\{ \begin{矩阵} n-1 \\ k-1 \end{矩阵} \right\}$

种。

最后，这是欧拉数的相应定理。

$\left\langle \begin{矩阵} n \\ k \end{矩阵} \right\rangle = (k+1) \left\langle \begin{矩阵} n-1 \\ k \end{矩阵} \right\rangle + (n-k) \left\langle \begin{矩阵} n-1 \\ k-1 \end{矩阵} \right\rangle$

（我不知道为什么这个等式显示得比其他等式小；大小被声明为相同的。）

二项式系数的类似物一文最初出现在John D. Cook上。

原文： https://www.johndcook.com/blog/2025/07/24/analogs-of-binomial-coefficients/