“三项式系数”这个术语有几种不同的用法。最自然的用法是将二项式系数推广到三个变量，即如下形式的数
其中i + j + k = n 。这些数字是 ( x + y + z ) n展开式中y j z k的系数。
但是“三项式系数”还有另一种用法，也是我们这篇文章感兴趣的，那就是 (1 + x + 1/ x ) n展开式中x k的系数。这些数字可以用类似于帕斯卡三角形的三角形来表示。
在帕斯卡三角形中，每个元素都是其上方两个元素之和。在三项式三角形中，每个元素都是其上方三个元素之和。
如果你经常阅读我的博客，你就会知道我最近对国际象棋谜题很感兴趣。我对三项式系数感兴趣是因为它们与棋盘上国王的走法有关。
如果你记录国王用最少的移动次数可以到达某个方格的路径数量，你就会得到三项式三角形。原因很简单：到达某个方格的路径数量等于通过左上方方格到达该方格的路径数量，加上通过上方方格到达该方格的路径数量，再加上通过右上方方格到达该方格的路径数量。
相关文章
《三项式系数和国王》一文最先出现在John D. Cook 的文章中。
原文： https://www.johndcook.com/blog/2025/05/16/trinomial-coefficients-and-kings/