三角伽玛 – 搞英语 → 看世界

穿着ΓΓΓ衬衫的家伙

除基础函数外，最重要的数学函数是伽马函数。如果我可以在一个具有三角函数、对数函数和指数函数的计算器中添加一个函数，那一定是伽马函数。或者可能是伽马函数的对数；它通常比伽马函数本身更有用，因为它不容易溢出。

对数伽马函数的导数是双伽马函数，记为ψ。它在实际应用中经常出现。我刚刚快速搜索了一下，发现我写了六篇包含“双伽马”一词的帖子。

$\psi(z) = \frac{d}{dz} \log \Gamma(z)$

双伽玛函数 ψ′ 的导数是三伽玛函数。

$\psi^\prime(z) = \frac{d}{dz} \psi(z) = \frac{d^2}{dz^2} \log \Gamma(z)$

三角函数以及二伽马函数的高阶导数在实际应用中屡见不鲜。例如，我记得一位研究员请我将三角函数添加到我为MD安德森生物统计学系编写的数学库中。

我正在思考三角函数，因为我遇到了该函数的以下级数 [1]。

$\psi^\prime (z+1) = \frac{1}{(z + 1)} + \frac{1!}{2} \frac{1}{(z+1)^{\bar{2}}} + \frac{2!}{3}\frac{1}{(z+1)^{\bar{3}}} + \cdots$

注意指数顶部的横线：分母是z + 1 的上升幂，而不是普通幂。

当 δ > 0 时，该级数对 Re( z ) > −1 + δ 均匀收敛 [2]。当z较大时，该级数收敛较快。

看到报纸标题，我感觉它听起来像个希腊兄弟会。其实有个“三角洲兄弟会”，但据我所知，没有“伽马兄弟会”。

[1] Harold Ruben。《关于三角函数的注释》。《美国数学月刊》，第 83 卷，第 8 期，第 622 页。

[2] 当 δ > 0 时，似乎没有必要说 Re( z ) > −1 + δ。难道不能直接说 Re( z ) > −1 吗？逐点来说，可以，但一致收敛要求z的实部与 −1 之间的距离为一个固定值，而与z的复数部分无关。

Trigamma一文最先出现在John D. Cook身上。

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